高考题选讲(导数部分）

导数是中学数学的新增内容,是高等数学的基础内容,它在中学数学教材中的出现,使中学数学与大学数学 之间又多了一个无可争辩的衔接点.       今后的高考对这部分内容的考查将仍然会以导数 的应用题为主,如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题及曲线的问题等.考题不难,侧重知识之意,这也是命题者为使这部分内容在中学占据一席之地的良苦用心.
      考查的题型有选择题、填空题也有解答题.解答题 多以数列、函数、解析几何、不等式等高中主干内容为载体.
       这里,我们对前几年高考中的解答题给以分析,使同学们了解高考考什么,怎样考.注:此题第(Ⅰ)问,已超过了目前的教学范围,在此我们不加以讨论.综上所述,所求a的取值范围是[1,+∞).
2.2000—新课程卷—文史类(21),理工类(20):    用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果     所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为    多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.
解:设容器底面短边长为xm,则另一边长为(x+0.5)m,容      器的高为[14.8-4x-4(x+0.5)]/4=3.2-2x.
由问题的实际意义,要求x>0,3.2-2x>0,解得x的取值 范围是0<x<1.6.
记容器的容积为ym3,则y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0<x< 1.6).即有y=-2x3+2.2x2+1.6x(0<x<1.6).
所以在定义域(0,1.6)内,只有x=1使导数为0,且当x值接近0或1.6的一端时,y值都很小(接近0).
因此,当x=1时,y取最大值,得y最大=-2+2.2+1.6=1.8, 这时容器的高为3.2-2x=1.2.
3.2001—新课程卷—文史类(21):    已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1,试      确定a、b的值,并求出f(x)的单调区间.
注:此题为p.252课后强化训练第8题.故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1/3)和(1,+∞),单调递减区间是(-1/3,1).注:此题为p.248课后强化训练第14题.注意到a>0,得a=1.故f(x)在(0,+∞)上是增函数.       此题的证明完全可以仿照下一题(当年的理科题)的证明过程.        留给同学们课后自己完成.(Ⅱ):在l的方程中令y=0得:x2=x1(1-ax1)+x1=x1(2-ax1),        其中0<x1<2/a.①由0<x1<2/a,x2=x1(2-ax1),有x2>0.所以0<x2≤1/a,当且仅当x1=1/a时,x2=1/a.②当x1<1/a时,ax1<1,因此,x2=x1(2-ax1)>x1.又由①知,x2<1/a;所以,x1<x2<1/a.由于Δ=(2a-4)2-4a2=16(1-a).故有:又知函数在x=1处连续,因此,函数在(0,+∞)内单调递增.