高考专题讲座－－解析几何热点问题

一、高考复习建议：    本章内容是高考重点考查的内容，在每年的高考考试卷中占总分的15%左右，分值一直保持稳定，一般有2－3道客观题和一道解答题。选择题、填空题不仅重视基础知识和基本方法，而且具有一定的灵活性与综合性，难度以中档题居多，解答题注重考生对基本方法，数学思想的理解、掌握和灵活运用，综合性强，难度较大，常作为把关题或压轴题，其重点是直线与圆锥曲线的位置关系，求曲线方程，关于圆锥曲线的最值问题。考查数形结合、等价转换、分类讨论、函数与方程、逻辑推理诸方面的能力，对思维能力、思维方法的要求较高。  近几年，解析几何考查的热点有以下几个  ――求曲线方程或点的轨迹  ――求参数的取值范围  ――求值域或最值  ――直线与圆锥曲线的位置关系  以上几个问题往往是相互交叉的，例如求轨迹方程时就要考虑参数的范围，而参数范围问题或者最值问题，又要结合直线与圆锥曲线关系进行。
专 题　　解析几何热点问题 秭归县屈原高中        张鸿斌
 总结近几年的高考试题，复习时应注意以下问题：  1、重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义或性质  这是因为椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质是本章的基石，高考所考的题目都要涉及到这些内容，要善于多角度、多层次不断巩固强化三基，努力促进知识的深化、升华。  2、重视求曲线的方程或曲线的轨迹  曲线的方程或轨迹问题往往是高考解答题的命题对象，而且难度较大，所以要掌握求曲线的方程或曲线的轨迹的一般方法：定义法、直接法、待定系数法、代入法（中间变量法）、相关点法等，还应注意与向量、三角等知识相结合。  3、加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习  由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点，这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决问题，这样就加强了对数学各种能力的考查，其中着力抓好“运算关”，增强抽象运算与变形能力。解析几何的解题思路容易分析出来，往往由于运算不过关半途而废，在学习过程中，应当通过解题，寻求合理运算方案，以及简化运算的基本途径和方法，亲身经历运算困难的发生与克服困难的完整过程，增强解决复杂问题的信心。  4、重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思路，简化解题过程的目的。   用好方程思想。解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就可简化解题运算量。   用好函数思想。   掌握坐标法。 ? 二、学习目标  三、知识梳理
●求曲线方程或点的轨迹   求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一，是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生的创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，则能很好地反映学生在这些方面能力的掌握程度。   下面介绍几种常用的方法 　(1) 直接法：动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，我们只需把这种关系“翻译”成含x、y的等式就得到曲线轨迹方程。 　(2) 定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。 　(3) 几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段中垂线、角平分线性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
    (4) 相关点法（代入法）：有些问题中，某动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入其所满足的方程，即可求得动点的轨迹方程。     (5) 参数法：有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距）等的制约，即动点坐标(x、y)中的x、y分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法。消去参数，即可得到轨迹普通方程。选定参变量要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响。    (6) 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求出所求轨迹方程，该法经常与参数法并用。 ?
 例1、（2000安徽春）已知A、B为抛物线y2 = 4px (p>0) 上原点以外的两个动点,  OA⊥OB，OM⊥AB，M为垂足，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。 ?     ?  例2、（1997全国）如图，给出定点A（a ，0）( a>0 )和直线l ：x = -1 , B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系
●求参数范围问题 在解析几何问题中，常用到参数来刻划点和曲线的运动和变化，对于参变量范围的讨论，则需要用到变与不变的相互转化，需要用函数和变量去思考，因此要用函数和方程的思想作指导，利用已知变量的取值范围以及方程的根的状况求出参数的取值范围。 ? 例1、已知椭圆C：             试确定m的范围，使得对于直线l:     y = 4x+m 椭圆上有不同的两点关于直线 l 对称。   ? 例2、（2004浙江）已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）,点P、Q在双曲线的右支上，点M (m , 0 ) 到直线AP的距离为1， （1）若直线AP的斜率为k ，且           ，求实数 m 的取值范围  （2）当        时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程